好的，遵照您的要求，我将对原文中出现的每一个公式进行不遗漏的、最详细具体的解释，并附上清晰的数值示例说明。

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1. 无环烷烃的分子通式 (Molecular Formula of Acyclic Alkanes)

公式

$$\mathrm{C}_{n} \mathrm{H}_{2 n+2}$$

公式解释

• 定义与适用范围： 这个公式被称为无环烷烃的分子通式。它精确地描述了所有饱和且非环状的烃类化合物（即链状烷烃）中碳原子与氢原子的数量关系。“饱和”意味着分子中只含有碳-碳单键和碳-氢单键，没有双键或三键。“无环”或“非环状”意味着碳原子连接成链状（无论是直链还是支链），而不是闭合成环。

• 各符号含义：

  • $C$：代表碳元素的化学符号。
  • $H$：代表氢元素的化学符号。
  • $n$：是一个下标，代表一个分子中碳原子的数量。$n$ 必须是一个大于等于1的正整数。
  • $2n+2$：是一个下标表达式，用于计算当碳原子数为 $n$ 时，分子中氢原子的总数量。

• 化学原理/推导逻辑： 在有机化学中，一个中性的碳原子通常形成四个共价键。在一个链状烷烃中，我们可以这样理解氢原子数的计算：

  1. 想象有 $n$ 个碳原子排成一条主链。为了将它们连接起来，需要 $n-1$ 个碳-碳单键。
  2. 每个碳原子有4个“价”（可形成的键）。$n$ 个碳原子总共有 $4n$ 个价。
  3. 这些价中，有 $2 \times (n-1)$ 个价被用于形成碳-碳单键（因为每个单键消耗两个价）。
  4. 那么，剩余的、可用于连接氢原子的价的数量就是：$4n - 2(n-1) = 4n - 2n + 2 = 2n + 2$。 因此，需要 $2n+2$ 个氢原子来填满所有剩余的价，使分子达到饱和。这个规律对直链烷烃和支链烷烃都成立。

具体数值示例

问题：请确定戊烷（Pentane）的分子式。

1. 确定参数 $n$： 根据 IUPAC 命名法，“Pent-”词根表示有5个碳原子。因此，$n=5$。
2. 代入公式计算氢原子数： 将 $n=5$ 代入公式中的 $2n+2$ 部分：

   $$\text{氢原子数} = 2 \times n + 2 = 2 \times 5 + 2 = 10 + 2 = 12$$

3. 得出结论： 戊烷的分子式为 $\mathrm{C}_{5} \mathrm{H}_{12}$。这与原文表格中的数据完全一致。

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2. H-H 重叠相互作用能的近似计算 (Approximation of H-H Eclipsing Interaction Energy)

公式

$$E_{\text{H-H}} = \frac{E_{\text{ethane barrier}}}{3}$$

公式解释

• 定义与适用范围： 此公式用于估算一对氢原子在重叠构象（Eclipsed Conformation）下产生的扭转应变能（Torsional Strain）。这种应变能是由于相邻碳原子上的化学键在空间上彼此对齐（二面角为0°）时，成键电子云之间的排斥作用导致的。该公式基于一个核心的近似假设：乙烷（Ethane, $C_2H_6$）分子的总旋转能垒完全由三对 H-H 重叠相互作用均等贡献。

• 各符号含义：

  • $E_{\text{H-H}}$：代表一对氢-氢（H-H）重叠相互作用所贡献的能量值。
  • $E_{\text{ethane barrier}}$：代表乙烷分子的旋转能垒，即从最稳定的交叉构象（Staggered Conformation）旋转到能量最高的重叠构象所需要克服的能量差。
  • $3$：代表在乙烷的重叠构象中，存在的 H-H 重叠相互作用的总对数。

• 化学原理/推导逻辑： 乙烷（$CH_3-CH_3$）是最简单的可以研究 C-C 单键旋转的分子。当它处于重叠构象时，前碳上的三个氢原子分别与后碳上的三个氢原子正对，形成了三对排斥作用。实验测得其总能垒约为 $12 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。为了将这个宏观的能量值分解为微观的相互作用，我们做了一个简化，即认为这三对相互作用是独立且相等的。因此，将总能量除以相互作用的对数，就得到了每一对相互作用的近似能量值。

具体数值示例

问题：根据原文提供的数据，计算一对 H-H 重叠相互作用的能量。

1. 确定参数： 根据原文，“这个 $12 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$ 的能垒被认为是三个 $\mathrm{H}-\mathrm{H}$ 交叉重叠相互作用之和”。所以，$E_{\text{ethane barrier}} = 12 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。
2. 代入公式计算：

   $$E_{\text{H-H}} = \frac{12 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}}{3} = 4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$$

3. 得出结论： 一对 H-H 重叠相互作用贡献的能量约为 $4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。这个数值是后续计算更复杂分子扭转应变的基础。

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3. Me-H 重叠相互作用能的计算 (Calculation of Me-H Eclipsing Interaction Energy)

公式

$$E_{\text{Me-H}} = E_{\text{propane barrier}} - 2 \times E_{\text{H-H}}$$

公式解释

• 定义与适用范围： 此公式用于计算一个甲基（Methyl, Me, $-CH_3$）和一个氢原子（H）在重叠构象下产生的扭转应变能。这个计算是在丙烷（Propane, $CH_3-CH_2-CH_3$）分子模型中进行的，利用了能量加和性原理。

• 各符号含义：

  • $E_{\text{Me-H}}$：代表一对甲基-氢（Me-H）重叠相互作用所贡献的能量值。
  • $E_{\text{propane barrier}}$：代表丙烷分子的旋转能垒，实验测得约为 $14 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。
  • $E_{\text{H-H}}$：代表已知的 H-H 重叠相互作用能，即 $4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。
  • $2$：代表在丙烷的重叠构象中，H-H 重叠相互作用的对数。

• 化学原理/推导逻辑： 观察丙烷绕 $C_1-C_2$ 键旋转，其重叠构象包含以下相互作用：

  • 1 个甲基（$C_3H_3$部分）与后碳（$C_2$）上的1个氢原子重叠。
  • 2 个前碳（$C_1$）上的氢原子与后碳（$C_2$）上的另外2个氢原子重叠。 总能垒 $E_{\text{propane barrier}}$ 是所有这些相互作用能的总和，即 $E_{\text{propane barrier}} = 1 \times E_{\text{Me-H}} + 2 \times E_{\text{H-H}}$。通过简单的代数移项，我们可以从已知的总能量和已知的 H-H 能量中，解出未知的 Me-H 能量。

具体数值示例

问题：根据原文数据，计算一对 Me-H 重叠相互作用的能量。

1. 确定参数：
   • 丙烷的总能垒 $E_{\text{propane barrier}} = 14 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。
   • 已计算出的 H-H 相互作用能 $E_{\text{H-H}} = 4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。
2. 代入公式计算：

   $$E_{\text{Me-H}} = 14 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol} - (2 \times 4 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}) = 14 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol} - 8 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol} = 6 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$$

3. 得出结论： 一对 Me-H 重叠相互作用贡献的能量为 $6 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$。这个值比 H-H 的 $4 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$ 要大，这符合化学直觉，因为甲基基团体积比氢原子大，所以排斥作用更强。

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4. 丁烷在 ±120° 重叠构象下的能量计算 (Energy of Butane's Eclipsed Conformation at ±120°)

公式

$$E_{\text{eclipsed, ±120°}} = 1 \times E_{\text{H-H}} + 2 \times E_{\text{Me-H}}$$

公式解释

• 定义与适用范围： 该公式用于计算丁烷（Butane）分子绕其中心的 $C_2-C_3$ 键旋转时，当二面角为 $120^{\circ}$ 或 $240^{\circ}$（$-120^{\circ}$）时，所形成的重叠构象的总应变能。这是一个验证性的计算，应用之前推导出的基本相互作用能来预测一个更复杂体系的能量。

• 各符号含义：

  • $E_{\text{eclipsed, ±120°}}$：丁烷在该特定重叠构象下的总能量。
  • $E_{\text{H-H}}$：H-H 重叠相互作用能 ($4 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$)。
  • $E_{\text{Me-H}}$：Me-H 重叠相互作用能 ($6 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$)。

• 化学原理/推导逻辑： 在丁烷的这种构象中，一个前碳的甲基与后碳的一个氢重叠，同时前碳的一个氢与后碳的甲基重叠（这构成了两对 Me-H 相互作用）。剩下的一对前碳氢和后碳氢也彼此重叠（构成一对 H-H 相互作用）。根据能量加和性原理，总能量就是这三种相互作用能的总和。

具体数值示例

问题：预测丁烷在二面角为 $120^{\circ}$ 的重叠构象下的能量值。

1. 确定参数：
   • $E_{\text{H-H}} = 4 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$。
   • $E_{\text{Me-H}} = 6 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$。
2. 代入公式计算：

   $$E_{\text{eclipsed, ±120°}} = (1 \times 4 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}) + (2 \times 6 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}) = 4 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol} + 12 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol} = 16 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$$

3. 得出结论： 通过计算，我们预测该构象的能量为 $16 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$。原文中提到“= 16 observed!”，这说明我们的加和模型预测的结果与实验观测值非常吻合，证明了该模型的有效性。

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5. Me-Me 重叠相互作用能的计算 (Calculation of Me-Me Eclipsing Interaction Energy)

公式

$$E_{\text{Me-Me}} = E_{\text{eclipsed, 0°}} - 2 \times E_{\text{H-H}}$$

公式解释

• 定义与适用范围： 此公式用于计算两个甲基在全重叠构象（二面角为 $0^{\circ}$，也称作 syn-periplanar）下产生的扭转应变能。这是丁烷旋转过程中能量最高的点，因为两个体积最大的基团发生了最直接的排斥。

• 各符号含义：

  • $E_{\text{Me-Me}}$：代表一对甲基-甲基（Me-Me）重叠相互作用所贡献的能量值。
  • $E_{\text{eclipsed, 0°}}$：代表丁烷在 $0^{\circ}$ 全重叠构象下的总能量，实验测得约为 $19 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。
  • $E_{\text{H-H}}$：代表已知的 H-H 重叠相互作用能，即 $4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。

• 化学原理/推导逻辑： 在丁烷的 $0^{\circ}$ 全重叠构象中，两个甲基相互重叠，同时还有两对氢原子也相互重叠。其总能量是这些作用的总和，即 $E_{\text{eclipsed, 0°}} = 1 \times E_{\text{Me-Me}} + 2 \times E_{\text{H-H}}$。与计算 Me-H 能量时类似，我们通过代数移项，从已知的总能量中减去已知的两对 H-H 相互作用能，从而分离出 Me-Me 相互作用的能量值。

具体数值示例

问题：根据原文数据，计算一对 Me-Me 重叠相互作用的能量。

1. 确定参数：
   • 丁烷全重叠构象的总能量 $E_{\text{eclipsed, 0°}} = 19 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。
   • H-H 相互作用能 $E_{\text{H-H}} = 4 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$。
2. 代入公式计算：

   $$E_{\text{Me-Me}} = 19 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol} - (2 \times 4 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}) = 19 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol} - 8 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol} = 11 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$$

3. 得出结论： 一对 Me-Me 重叠相互作用贡献的能量为 $11 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}$。这证实了基团体积越大，重叠时产生的空间排斥和能量惩罚越大的规律：$E_{\text{H-H}}(4 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}) < E_{\text{Me-H}}(6 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol}) < E_{\text{Me-Me}}(11 \mathrm{~kJ}/\mathrm{mol})$。